x^2 + (x + p)^2 = y^2

هام جدا 1: أدعوكم إلى الدخول على رابط اليوتيوب الذي يشرح و يفسر علميا سبب تقلب المناخ و سبب ما يحدث للكون (استدارة شعاع الزمن يوم 10 ماي 2010) و الله أعلم، لا تنسوا قراءة ما جاء في صندوق الوصف و الدخول إلى رابط الفيسبوك الذي تجدونه هناك. https://youtu.be/wyOyMjDK5PM

هام جدا 2: أدعوكم إلى الدخول على رابط اليوتيوب الذي ستجدون فيه السبيل إلى رفع البلاء و التي جاء ذكرها في الآيتين 28 و 29 من سورة (القلم)، لا تنسوا قراءة ما جاء في التعليق المثبت. https://youtu.be/4zuN9RWdKvE

1/ الجميل في المعادلات من الشكل: x^2 + (x + p)^2 = y^2 حيث p عدد أولي من الشكل p = 2*m^2 - 1 و m>=2 أن الحلول المتعاقبة الثلاثة الأولى هي:

(0 ; p)، (2*m+1 ; 2*m^2+2*m+1) و (6*m^2-10*m+4 ; 10*m^2-14*m+5) و من أجل كل عدد طبيعي n أكبر أو يساوي 3:

 ((X(n); Y(n))= (3*X(n-3)+2*Y(n-3)+p; 4*X(n-3)+3*Y(n-3)+2*p

https://oeis.org/A076296

2/ بالنسبة للمعادلات من الشكل: x^2 + (x + p)^2 = y^2 حيث p عدد أولي من الشكل p = m^2 - 2 و m>=5 فالحلول المتعاقبة الثلاثة الأولى هي:

(0 ; p)، (2*m+2 ; m^2+2*m+2) و (3*m^2-10*m+8 ; 5*m^2-14*m+10) و من أجل كل عدد طبيعي n أكبر أو يساوي 3:

 ((X(n); Y(n)) = (3*X(n-3)+2*Y(n-3)+p; 4*X(n-3)+3*Y(n-3)+2*p

https://oeis.org/A118337

3/ من جمال المعادلة: x^2 + (x + 1)^2 = y^2 أن الحل الأول هو الثنائية(0 ; 1)  و من أجل كل عدد طبيعي n أكبر أو يساوي 1:  ((X(n); Y(n)) = (3*X(n-1)+2*Y(n-1)+1; 4*X(n-1)+3*Y(n-1)+2

https://oeis.org/A001652

4/ في ما يخص المعادلة: 0 + 1 + 2 + 3 + … + x = y^2 الحل الأول هو الثنائية (0; 0) و من أجل كل عدد طبيعي n أكبر أو يساوي 1: ((X(n); Y(n)) = (3*X(n-1)+4*Y(n-1)+1; 2*X(n-1)+3*Y(n-1)+1

https://oeis.org/A001109

5/  بالنسبة للمعادلة: (x – y)^3 – x*y = 0  فمجموعة حلولها غير منتهية حيث و من أجل n عدد طبيعي:

  (x ; y) = (n*(n+1)^2 ; (n+1)*n^2)   

https://oeis.org/A045991